BFAI0A Qualifikationsphase

Hier finden Sie die Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien der BFAI0A in der Qualifikationsphase des Abiturjahrgangs 2023. Die Themen in dieser Klasse 12 reichen vom Einstieg in die Differential- und Integralrechnung bis zur Vektorrechnung.

Wiederholung zu Geraden und Parabeln

Es folgt eine kurze Wiederholung zu Geradengleichungen und Parabeln, soweit es der unmittelbaren Vorbereitung auf die Differentialrechnung dient.

  1. Geradengleichungen und Abstandsprobleme
    Eine Windparkanlage soll an die Stromversorgung einer Stadt angeschlossen werden. Dies soll auf dem kürzesten Wege geschehen, um die Leitungskosten zu minimieren.
    Es folgt zunächst eine kurze Wiederholung zur Aufstellung einer Geraden und zu dem Abstandsproblem zwischen Punkt und Gerade aus der Klasse 11:
    1. Abstand zwischen Punkt und Gerade. Dazu finden Sie hier eine Unterrichtsmitschrift.
    2. Für das Arbeitsblatt zur Anbindung einer Windparkanlage an die Stromversorgung erhalten Sie hier eine Lösungsangabe.
    3. Dazu gibt es eine entsprechende Leistungsüberprüfung:
      Test A, Test A - Lösungsangaben, Test B, Test B - Lösungsangaben. Version 23. August 2021:
      Test A', Test A' - Lösungsangaben, Test B', Test B' - Lösungsangaben.
  2. Parabeln
    Es folgt hier eine Wiederholung zu quadratischen Funktionen und Parabeln.
    1. Hier finden Sie eine Liste von passenden Lernvideos auf YouTube, falls Sie diese als Unterstützung bei der Wiederholung nutzen möchten. Bei den obigen YT-Videos lagen bereits schon die folgenden Übungsaufgaben - nur für den Fall, dass sie diese dort übersehen haben sollten:
      Aufgabenblatt 1) Aufgabenblatt 2)
    2. Die obigen YT-Videos zeigen verschiedene Rechenverfahren und Zeichentechniken zu Parabeln. Wir arbeiten dies im folgenden Arbeitsblatt noch einmal insgesamt auf. Somit sind alle zukünftig notwendigen Rechenverfahren auch im Unterricht wiederholt worden.

Ganzrationale Funktionen

Dieser Unterrichtsabschnitt ist neu und bereitet die Einführung der Differentialrechnung vor, indem ganzrationale Funktionen eingeführt werden und zu diesen Funktionen auch erste Versuche einer Optimierung unternommen werden.

  1. Ganzrationale Funktionen
    Als Verallgemeinerung der linearen und quadratischen Funktionen betrachten wir hier die ganzrationalen Funktionen.
  2. Beispiele ganzrationaler Funktionen und Zahlenfolgen
    Wir wiederholen hier Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen (mit und ohne GTR), um lineare oder im Allgemeinen ganzrationale Funktionen zu bestimmen (später so genannte Steckbriefaufgaben). Dabei üben wir sehr ausführlich den Gebrauch des GTRs: Arbeitsblatt.
  3. Symmetrie ganzrationaler Funktionen
    Ganzrationale Funktionen und deren Symmetrie mit einigen Funktionsgraphen
  4. Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktionen
    Für Funktionsuntersuchungen (Extrempunkte, Wendepunkte) benötigen wir einige Verfahren zur Nullstellenbestimmung für ganzrationale Funktionen aus der Zeit vor dem GTR: Nullstellenverfahren.

Einführung in die Differentialrechnung

  1. Änderungsraten
    In diesem Arbeitsblatt wird aus der mittleren Änderungsrate der Begriff der lokalen Änderungsrate abgeleitet.
    Als alternatives Vorgehen und Wiederholung wollen wir hier die letzte Aufgabe noch einmal graphisch mit dem GTR lösen: Auto-Baum-GTR. Die rechnerische Lösung der Auto-Baum-Aufgabe wird hier mit List&Spreadsheet betrachtet.
  2. Sekanten und Tangenten
    Zur Beschreibung des Grenzwertüberganges werden hier die Begriffe Sekante und Tangente eingeführt.
  3. Differenzenquotient und Grenzübergang
    Sehr detailliert wird der Differentialquotient vorbereitet.
    Es wird hier weiter eine GTR-Anleitung zur Bestimmung der Steigungsfunktion gegeben.
  4. Testvorbereitungen zu Differenzenquotient und Grenzübergang
    Heute am 6.9.2021 soll es noch eine Vorbereitung auf den morgigen Test geben: Probetest
    Hier finden Sie den Test vom 7.9.2021 Version C mit Lösung C und Version D mit Lösung D.
  5. Die grundlegenden Überlegungen zum Min-/Max-Kriterium: Arbeitsblatt.
  6. Rückblickend schauen wir jetzt nach vorn - was haben wir erreicht und was können wir damit anfangen: Arbeitsblatt.
  7. Einen ersten Ansatz zur Kurvendiskussion finden Sie hier - diese Funktionen wurden schon zuvor einmal betrachtet - jetzt soll das Vorgehen bei einer Kurvendiskussion berücksichtigt werden: Arbeitsblatt.
  8. Beispiele für Wendestellen: Aufgabenblatt 1, Aufgabenblatt 2, Aufgabenblatt 3
    Graphische Darstellungen
  9. Zusammenfassung Steigung, Ableitung, Extrem- und Wendestellen: Zusammenfassung
  10. Das graphische Differenzieren erfolgt unter Berücksichtigung der Zusammenhänge von Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen der Ableitungsfunktionen: Übungsblatt mit Lösungen.
  11. Das graphische Differenzieren und Wendestellen werden hier geprüft:
    Aufgabenblatt mit Lösungen
  12. Test 20.09.2021
    Ein Test zu Ableitungen, Extrema- und Wendestellen: Aufgabenblatt mit Lösungen
  13. Newtonverfahren zur Nullstellenbestimmung
    Neben der zentralen Idee der linearen Annäherung wird mit diesem Verfahren beispielhaft ein iteratives Vorgehen vorgestellt, das auch noch einmal den grundlegenden Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren Tangenten vor Augen führt. Beachten Sie dazu das Arbeitsblatt und eine graphische Darstellung zur Vorgehensweise beim Newtonverfahren.
  14. Klausurvorbereitungen zur Differentialrechnung
    1. 21.09.21
      Testnachbereitungen zu Steigungen, Tangenten, Ableitungen, Extrema, Wendestellen mit Lösungsangaben
    2. Es folgt eine Wiederholung aus der Klasse 11 zu Extrema unter Nebenbedingungen (das machen wir hier als Hausaufgabe zum 23.09.2021)
    3. Hier finden Sie eine Aufgabensammlung zur Vorbereitung der Klausur und ein zugehöriges Lerntagebuch.
      Zu den Fragen nach der Dokumentation der Klausuraufgaben, die mit dem GTR gelöst werden, finden Sie hier Vorgaben in Form einiger Tafelbilder zu den Aufgaben 1) und 3). Bitte beachten Sie auch die Lösungsangaben, die Sie bei einigen Aufgaben in der obigen Aufgabensammlung finden. Auch diese Lösungen sollten als Richtlinien zur Dokumentation einer Bearbeitung von GTR-Aufgaben gelten.
      Die Bearbeitung der Aufgabe 20 mit dem GTR (List&Spreadsheet) hat zu unerwarteten technischen Problemen und Nachfragen zur Dokumentation geführt. Daher finden Sie hier nur zur Aufgabe 20 eine weitere Musterlösung.
      Zum Schluss dieser Arbeitsphase erstellen Sie eine Rezeptsammlung zur Differentialrechnung.
    4. Probeklausur
      Hier finden Sie eine Probeklausur zur Differentialrechnung.
    5. Klausur vom 7.10.2021
      Als Hausaufgaben bis zur Stunde am 26.10.2021 sollen Sie eine Musterlösung zur aktuellen Klausur erstellen. Jetzt finden Sie auch meine Korrekturvorlage dazu.

      Die Trilogie endet wie immer mit der Nachklausur mit meiner Korrekturvorlage (also eine Lösungsangabe mit einigen wenigen Zwischenschritten).

Steckbriefaufgaben

Oft werden Funktionen gesucht, die bestimmten Anforderungen genügen, wie etwa eine gewisse Steigung an einer bestimmten Stelle zu haben. Zunächst werden Eigenschaften des Graphen systematisch in Anforderungen an die Funktionsgleichungen übertragen.

  1. Das einführende Arbeitsblatt zu Steckbriefaufgaben finden Sie hier. Es folgt ein erster Überblick zu Steckbriefaufgaben
  2. Eine besonderer Typ der Steckbriefaufgabe befasst sich allein mit der optimalen Streckenführung von Straßen und Eisenbahnschienen. Eine Streckenführung wird auch als Trasse bezeichnet und daraus leitet sich die Bezeichnung für diesen Aufgabentyp ab: Trassierungsaufgabe
  3. Steckbriefaufgaben zu Grad 3,4 und 5
    Der Taschenrechner steht uns zur Verfügung und erlaubt uns umfangreichere Aufgabenstellungen zu betrachten und die Löungen mit Hilfe des Taschenrechners durch graphisches Analysieren zu überprüfen. Hier finden Sie eine abschließende Übungen zu Steckbriefaufgaben

Nachtrag zur Differenzierbarkeit

Die Differenzierbarkeit haben wir bislang aus der Sicht von Funktionen graphisch im Zusammenhang mit Tangenten betrachtet. Wir schauen jetzt rein rechnerisch auf die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer bestimmten Stelle.

  1. Nicht überall differenzierbare Funktionen
    Es gibt einige typische Formen von Funktionsgraphen, sodass die Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar ist. Hier finden Sie einige Beispiele dazu.
  2. Ableitungen mit der Δx-Methode
    An einer allgemeinen x-Stelle wird der Grenzwertübergang rechnerisch durchgeführt und die Steigungsfunktion und Ableitung auf diese Weise definiert: Grenzwertübergang und Steigungsfunktion.
  3. Allgemeine Ableitungsregeln
    Unter Verwendung der obigen Δx-Methode kann man die folgenden allgemeinen Ableitungsregeln beweisen:
    Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel oder auch nur die Kettenregel motivieren.
  4. Ableitungen für Sinus und Kosinus
    Wir betrachten die Sinus- und Kosinusfunktionen aus der Unterstufe und bestimmen deren Ableitungsfunktionen: Sinus- und Kosinusfunktionen ableiten
    Zusammen mit den obigen allgemeinen Ableitungsregeln kann man die folgenden Aufgaben als Übung betrachten: Ableitungen I, Ableitungen II

Potenzen und Logarithmen - Exponentialgleichungen

Zunäachst betrachten wir hier eine kurze Wiederholung aus der Unterstufe, deshalb sollten Sie die Datumsangaben nicht weiter irritieren, sondern sogar eine gewisse Sicherheit geben.

  1. 4. Mai 2021 Potenzgesetze
    Dieses einführende Arbeitsblatt befasst sich mit der Definition von Potenzen und gibt Ihnen einen überblick über die Potenzgesetze.
    Beachten Sie dazu eine erste Lösung.
  2. 11. Mai 2021 Logarithmus zur Basis 10
    Um Exponentialgleichungen zu lösen, wird hier zunächst der Logarithmus zur Basis 10 eingeführt.
  3. 8. November 2021 Wiederholung zu Potenzgesetzen.
  4. Übungsaufgaben zu Exponentialgleichungen
    Hier erhalten Sie einige Beispiellösungen zu Rechenaufgaben.
  5. Wir betrachten noch einige Anwendungsaufgaben als Vorbereitung auf die kommende Klausur: Anwendungsaufgaben.
  6. Graphen von Exponentialfunktionen
    Zunächst betrachten wir einige Exponentialfunktionen, um dann als Basis die Euler-Zahl e=2,71828 im Folgenden zu verwenden. In diesem Aufgabenblatt finden Sie die Graphen zu verschiedenen Exponentialfunktionen mit Lösungen und Graphik.
  7. Parameter einer allgemeinen Eulerfunktion
    Analog zu den Parametern von Geraden und Parabeln betrachten wir hier einige Parameter der Euler-Funktion, welche eine Verschiebung, eine Spiegelungen oder das Verhalten am Rande einer Euler-Funktion bestimmen. Dazu erhalten Sie hier ein Arbeitsblatt jetzt auch mit Lösungen zu den Graphik-Aufgaben.
    Natürlich gibt es noch ein Übungsblatt dazu.
  8. Der natürliche Logarithmus
    In diesem Infoblatt wird der bereits bekannte 10-er Logarithmus auf die Basis e übertragen.
    Natürlich gibt es noch Übungsblätter dazu: Aufgaben I, Aufgaben II und Aufgaben III.
    Sie finden hier noch eine etwas erweiterte Formelsammlung zum Lösen der obigen Aufgaben.
    Hier finden Sie die Aufgaben und Musterlösungen vom 25.11.2021
    Langsam werden die Testversuche schon unglaubwürdig: Test vom 29.11.2021 mit einer Lösung.
    Geschafft - der Test ist geschrieben: Test vom 30.11.2021 mit einer Lösung.
    Alle, die den letzten Test nicht mitschreiben konnten, haben hier noch die Gelegenheit, den Test nachzuschreiben: Test vom 30.11.2021 mit einer Lösung.
    Dann gibt es hier auch eine Teillösung aus der Nachklausur vom 18.12.21 zu einigen Gleichungen.
    Vielleicht helfen noch ein paar Musterlösungen zum Test vom 10.1.2022.
  9. Erste Aufgaben zum natürlichen Logarithmus
    Aufgaben zur Euler-Funktion und natürlichem Logarithmus.
  10. Funktionswerte und Gleichungen zur Euler-Funktion
    Einfache Gleichungen zur Schnittpunktbestimmung zweier Eulerfunktionen. Hier finden Sie eine Lösung zu einem weiteren Beispiel.
    Auch zu einem zweiten Aufgabenblatt finden Sie hier Lösungen.
  11. Zwei Punkte bestimmen eine e-Funktion
    Durch zwei beliebige Punkte kann eine allgemeine Eulerfunktion bestimmt werden. Dazu finden Sie hier erste Rechen- und Anwendungsaufgaben.

Fortführung der Differentialrechnung

Mit den Euler-Funktionen haben wir eine weitere wichtige Funktionsklasse, mit der wir eine Wiederholung der bereits bekannten Ableitungsregeln betrachten: Produkte, Quotienten und Zusammensetzungen von Funktionen.

  1. Ableitung der Exponentialfunktion.
  2. Einfache Übungen zur Kettenregel
    Die Kettenregel bedarf in der Regel einer strukturierten Unterteilung und Herleitung der beteiligten Ableitungen. Daher betrachten wir hier nur die Kettenregel I
  3. Weitere Übungen zur Kettenregel II
    Mit dem zweiten Arbeitsblatt werden weiterhin einfache Verkettungen von Funktionen betrachtet: Kettenregel II
  4. Übungen zu allen Ableitungsregeln
    Episode I, Episode II. Episode IV.
  5. Zu den letzten Aufgabenblättern gibt es noch einen Test
  6. Extrempunkte und Wendepunkte mit Eulerfunktionen: Aufgabenblatt
  7. Parameter oder nicht Parameter - das ist hier die Frage
    Aber warum nicht Beides? Also kommt hier ein um Parameter erweitertes Aufgabenblatt, das wir schon ohne Parameter zuvor betrachtet hatten - siehe dazu Aufgabenblatt ohne Parameter
  8. Klausurblock Dezember 2021
    Zur Vorbereitung auf die kommende Klausur (8.12.2021) finden Sie hier eine Aufgabensammlung mit einer Musterlösung
    Hier finden Sie eine kleinere Aufgabensammlung II, um etwas mehr Exponentialaufgaben zu üben.
    Ein erster Klausurentwurf wurde heute als Übungsblatt vorzeitig verbrannt.
    Hier finden Sie die erste Klausur vom 8.Dezember 2021 mit einer Musterlösung und der dazugehörigen Punktevergabe.
    Die Trilogie endet wie immer mit der Nachklausur mit einer Lösungsangabe - das ist keine Musterlösung mehr.

Einführung in die Integralrechnung

Zu Beginn der neuen Unterrichtsreihe der Analysis betrachten wir hier die Integralrechnung. Am Ende dieser Unterrichtsreihe kommen wir zu einer themenübergreifenden Wiederholung der ganzen Analysis im Sinne einer ersten Abiturvorbereitung.

  1. Das Haus am See mit Grundstück soll hier als Motivation zur Flächenberechnung mit Ober- und Untersummen dienen.
  2. Hier finden Sie eine Darstellung zu Unter- und Obersummen. Dazu gehören eine Excel-Arbeitsmappe und eine GeoGebra-Animation. Beachten Sie auch weiterführende Übungen zu Ober- und Untersummen bei den numerischen Itegrationsverfahren.
  3. Linearität des Integrals
    Das Vielfache und die Summen von Integralen werden hier betrachtet.
  4. Wirkung von Änderungen
    Wie wirkt sich die Änderung einer Geschwindigkeit auf die zurückgelegte Strecke aus? Wie hängen Zuflussgeschwindigkeit und Volumen zusammen? Dazu finden Sie hier ein Arbeitsblatt.
  5. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung HDI
    Der HDI wird in diesem Arbeitsblatt heuristisch von den Schülern erarbeitet. Mit ersten einfachen Aufgaben soll die Handhabung des HDI eingeübt werden.
  6. Übungen zur Integralrechnung
    Mit diesem Übungsblatt stehen Ihnen weitere Aufgaben zur Verfügung.