BFAE8A Einführungsphase

Hier finden Sie die Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien der BFAE8A in der Einführungsphase des Abiturjahrgangs 2021. Die Themen in dieser Einführungsphase reichen von Geraden und Parabeln bis zum Einstieg in die Differentialrechnung.

Lineare Funktionen

  1. In der ersten Unterrichtsstunde betrachten wir Ausgleichsgeraden als eine erste Problemstellung zu Geradengleichungen, bevor wir eher rechentechnisch und formal Geraden(-gleichungen) betrachten: Unter dem folgenden Link finden Sie das Arbeitsblatt.
    Eine Geo-Gebra-Animation zur Bestimmung und Lage der Ausgleichsgerade finden Sie hier: Ausgleichsgerade mit veränderlichem Schwerpunkt und Steigung
  2. In einer weiteren Übung betrachten wir den Zusammenhang zwischen Geradengleichungen und deren zugehörigen Graphen. Unter dem folgenden Link finden Sie ein Arbeitsblatt zu Geraden und Geradengleichungen. Weiter können Sie hier noch ein zu Aufgabe 1) passendes Koordinatensystem herunterladen.
  3. Der rechnerische Umgang mit Geraden, Funktionsgleichungen, Schnittpunkten wird mit dem folgenden Arbeitsblatt eingeübt.
    Beachten Sie dazu auch einen Test.
  4. Es folgt eine weitere Übung zu Geraden, Funktionsgleichungen, Schnittpunkten: Aufgabenblatt.
  5. Hier betrachten wir eine Anwendung zu linearen Funktionen und Geraden. Unter dem folgenden Link finden Sie ein Arbeitsblatt dazu.
    Weiter finden Sie eine Musterlösung zum Stromvergleich allerdings mit leicht veränderten Zahlen.
  6. Es folgt ein weiteres Arbeitsblatt zu linearen Funktionen und Geraden.
    Zur eigenständigen Kontrolle der Aufgaben vergleichen Sie dazu die Lösungsangaben.

Trigonometrischen Funktionen

  1. Definition von Sinus, Cosinus und Tangens
    Mit diesem Arbeitsblatt führen wir die Winkelfunktionen an einem rechtwinkligen Dreieck ein.
  2. Anwendungsaufgaben zu SIN, COS, TAN
    In diesem Aufgabenblatt werden Seitenlängen und Winkel berechnet.

Fortführung der Unterrichtsreihe zu Geraden

  1. Orthogonale Geraden
    Mit orthogonalen Geraden werden Abstände zwischen einer Geraden und einem Punkt berechnet: Arbeitsblatt
  2. Abstandsprobleme
    Als Übung werden hier einige Geradenschnittpunkte und Abstandsprobleme betrachtet: Arbeitsblatt
  3. Übung zu Abstandsproblemen
    Der Sprung ins Wasser wird hier ein wenig strukturierter eingeübt: Aufgabenblatt
  4. Vorbereitungen zu einem Test über Abstandsprobleme und Schnittwinkel
    Bald kommt der zweite Test - diesmal zu Abstandsproblemen - und so wird das ungefähr aussehen: Probetest mit Ergebnissen
  5. Kein Test bei Feueralarm
    Das wäre der zweite Test gewesen: Feueralarmtest Gruppe 1 (Lösung Gruppe 1), Feueralarmtest Gruppe 2 (Lösung Gruppe 2).
  6. Steigungswinkel einer Geraden
    Hier finden Sie Aufgaben zur Berechung des Steigungswinkels von Geraden: Arbeitsblatt mit einer Angabe der Winkel aus Aufgabe 2.
  7. Winkelhalbierende zwischen zwei Geraden
    Hier finden Sie Aufgaben zum Steigungswinkel von Geraden, Schnittwinkel und Winkelhalbierende von zwei Geraden: Arbeitsblatt.
    Eine Lösung zu Aufgabe 1) finden Sie hier.
  8. Winkelhalbierende zwischen zwei Geraden II
    Das Erlernte soll hier noch einmal gefestigt werden (Schnittwinkel und Winkelhalbierende) von zwei Geraden: Arbeitsblatt.
  9. Test zu Winkelhalbierenden
    Zu den Gruppen Test A und Test B finden Sie hier eine Lösungsangabe zum Vergleich und eigenständigen Nachbereiten - nun auch mit Winkelangaben.
  10. Geometrische Konstruktionen
    Als weitere Übung betrachten wir Höhen, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende im Dreieck: Arbeitsblatt
  11. Geometrische Konstruktionen II
    Umkreise, Inkreise und Schwerpunkte von Dreiecken werden hier weiter eingeübt: Arbeitsblatt.
  12. Geometrische Konstruktionen III
    Zwei Anwendungsmöglichkeiten der obigen geometrischen Konstruktionen werden hier betrachtet: Arbeitsblatt.
  13. Test Metall-Recycling und geometrischen Konstruktionen 4.10.2018
    Test A, Test B mit Lösungsangaben
  14. Test Metall-Recycling und geometrischen Konstruktionen 9.10.2018
    Test C, Test D mit Lösungsangaben

Einführung des GTR

Die bisherigen Unterrichtsthemen werden genutzt, um den GTR einzuführen.

  1. Eine Übung zum Umgang mit dem GTR am Beispiel von Geraden.
  2. Winkelhalbierende mit dem GTR
    Sie erinnern sich noch an eines der obigen Übungsblätter? Dazu gibt es eine hier eine GTR-Anleitung zur Lösung.
  3. Dreiecksberechnungen mit dem GTR
    Dreiecke und Geraden sind mit dem GTR im Handumdrehen zu berechnen. hier finden Sie alte Aufgaben und neue GTR-Lösungen dazu: Übungsblatt.

Parabeln und quadratische Funktionen

Der GTR ist zunächst eingeführt. Weiterhin werden bebilderte Anleitungen angeboten, um die Aufgaben mit dem GTR lösen zu können.
Wir wenden uns mit dem GTR als Werkzeug den Parabeln und quadratischen Funktionen zu.

  1. Schieberegler und Flächenberechnungen mit dem GTR: Übungsblätter
  2. Binomische Formeln, Quadratische Gleichungen, p-q-Formel
    Wir bestimmen die Lösungen einer quadratischen Gleichung.
  3. Parabeln und quadratische Funktionen
    Dieses einführende Arbeitsblatt befasst sich mit der Scheitelpunktform. Hierzu finden Sie einige leere Koordinatensysteme.
  4. Bestimmung von quadratischen Funktionen durch Scheitelpunkte
    Es werden zu quadratischen Funktionen mit Hilfe der Scheitelpunkte bestimmt. Dazu finden Sie hier das Aufgabenblatt. Hier finden Sie einige Lösungsangaben zu den Aufgaben - keine Rechnungen - nur Lösungen.
  5. Klausuraufgaben 8.11.2018: Aufgaben. Hier finden Sie meine Korrekturvorlage zur obigen Klausur.
  6. Quadratische Optimierung mit dem GTR
    Eine erste einfache Funktionsuntersuchung quadratischer Funktionen: Arbeitsblatt.
  7. Quadratische Ergänzung und Scheitelpunktform
    Es werden zu quadratischen Funktionen deren Scheitelpunkte bestimmt.
  8. Quadratische Optimierung
    Flächen können optimiert werden, indem das Maximum einer quadratischen Funktion bestimmt wird. Dazu gibt es das Aufgabenblatt zu quadratischen Optimierungen.
  9. Übungsaufgaben zu quadratischen Funktionen
    1. Eine Probeklausur zu quadratischen Funktionen bislang noch ohne GTR, wobei der GTR-Anteil im laufenden Unterricht noch nachgeliefert wird. Es gibt dazu eine Lösungshilfe.
    2. Einige alte Testaufgaben sind bestimmt hilfreich zur Vorbereitung: Aufgaben I, Aufgaben II.
    3. Weitere Aufgaben ohne GTR finden Sie hier völlig unverbindlich: Aufgaben IV
    4. Mehr Aufgaben zur Quadratischen Optimierung: Aufgaben V
  10. Bruchgleichungen und Quadratische Funktionen - Rechenübungen
    Einfache Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen lassen sich auf quadratische Gleichungen zurückführen. Dies dient dazu etwas mehr Rechenroutine zu bekommen und neue Funktionsklassen zu betrachten: Bruchgleichungen.
  11. Wurzelgleichungen und Quadratische Funktionen - Rechenübungen II
    Wurzelgleichungen führen ebenso auf quadratische Gleichungen. Natürlich geht es auch hier wieder Rechenroutine, die man ebenso wie den geübten Umgang mit dem GTR bracht: Wurzelgleichungen.
    Auf mehrfachen Wunsch hin erhalten Sie hier ein weiteres Aufgaben- und Lösungsblatt zu Wurzelgleichungen.
  12. Nullstellen quadratischer Funktionen - Programmieren der p-q-Formel
    Auf mehrfachen Wunsch eines einzelnen Schüulers erstellen wir eine Funktion und programmieren mit dem TInspaire CX die p-q-Formel zur Angabe der Nullstellen einer quadratischen Gleichung: Programmfunktion mit dem TInspire CX
  13. Lineare Gleichungssysteme
    1. Lösungsansätze für lineare Gleichungssysteme
      Verschiedene Lösungsweg für lineare 2x2-Gleichungssysteme werden hier betrachtet: Arbeitsblatt.
    2. Bestimmung quadratischer Funktionen mittels LGS
      Durch drei beliebige Punkte kann eine quadratische Funktion bestimmt werden. Dafür benötigen wir 3x3-LGS, die mit diesem Übungsblatt eingeführt werden.
    3. Bestimmung quadratischer Funktionen mittels LGS II
      Hier finden Sie eine Fortführung der bisherigen Übungsaufgaben und zwei Standardaufgaben zur Bestimmung von Parabeln.
  14. Klausurvorbereitungen
    Für die zweite Mathematikklausur nach den Ferien finden Sie hier eine Probeklausur.
  15. Klausurnachbereitung
    Zu der zweiten Mathematikklausur finden Sie hier die Aufgaben und die Lösungen.

Potenzen und Logarithmen

  1. Potenzgesetze
    Dieses einführende Arbeitsblatt befasst sich mit der Definition von Potenzen und gibt Ihnen einen überblick über die Potenzgesetze.
  2. Logarithmus zur Basis 10
    Um Exponentialgleichungen zu lösen, wird hier zunächst der Logarithmus zur Basis 10 eingeführt.
  3. Übungsaufgaben zu Exponentialgleichungen
    Hier erhalten Sie einige Beispiellösungen zu Rechenaufgaben.
  4. Graphen von Exponentialfunktionen
    Zunächst betrachten wir einige Exponentialfunktionen, um dann als Basis die Euler-Zahl e=2,71828 im Folgenden zu verwenden. In diesem Aufgabenblatt finden Sie die Graphen zu verschiedenen Exponentialfunktionen.
  5. Parameter einer allgemeinen Eulerfunktion
    Analog zu den Parametern von Geraden und Parabeln betrachten wir hier einige Parameter der Euler-Funktion, welche eine Verschiebung, eine Spiegelungen oder das Verhalten am Rande einer Euler-Funktion bestimmen. Dazu erhalten Sie hier ein Arbeitsblatt jetzt auch mit Lösungen zu den Graphik-Aufgaben.
  6. Der natürliche Logarithmus
    In diesem Infoblatt wird der bereits bekannte 10-er Logarithmus auf die Basis e übertragen.
  7. Erste Aufgaben zum natürlichen Logarithmus
    Aufgaben zur Euler-Funktion und natürlichem Logarithmus.
  8. Funktionswerte und Gleichungen zur Euler-Funktion
    Einfache Gleichungen zur Schnittpunktbestimmung zweier Eulerfunktionen. Hier finden Sie eine Lösung zu einem weiteren Beispiel.
    Auch zu einem zweiten Aufgabenblatt finden Sie hier Lösungen.
  9. Zwei Punkte bestimmen eine e-Funktion
    Durch zwei beliebige Punkte kann eine allgemeine Eulerfunktion bestimmt werden. Dazu finden Sie hier erste Rechen- und Anwendungsaufgaben. Beachten Sie die darin enthaltene Musterlösung einer Aufgabe.
  10. Wir betrachten noch einige Anwendungsaufgaben als Vorbereitung auf die kommende Klausur: Anwendungsaufgaben.
  11. Probeklausur und Klausur mit Musterlösung
    Hier finden Sie eine gute Vorbereitung auf die kommende Klausur: Probeklausur.
    Hier erhalten Sie die Klausur zusammen mit einer Musterlösung.

Die allgemeine Sinusfunktion

Anfänglich werden als Wiederholung die üblichen Winkelfunktionen (cos, sin, tan) betrachtet, um dann die allgemeine Sinusfunktion f(x)=A sin[ B(x-C)]+D zu betrachten.

  1. Cosinus, Sinus, Tangens
    Die Winkelmaße im rechtwinkligen Dreieck werden mit diesem Arbeitsblatt wiederholt.
    Daran anschließend betrachten wir einfache Anwendungsaufgaben.
  2. Die Sinusfunktion am Einheitskreis
    Der Graph der einfachen Sinusfunktion wird mit einer Abwicklung am Einheitskreis erstellt - bis jetzt noch mit dem 360-Gradmaß. Hierzu das Arbeitsblatt.
  3. Die allgemeine Sinusfunktion
    Nachdem das Bogenmaß eingeführt wurde, betrachten wir hier nun die Paramterabhängigkeit der allgemeinen Sinusfunktion.
  4. Vom Graphen zur Sinusfunktion und zurück
    Es wird in diesem Arbeitsblatt der Einfluss der Parameter Amplitude, Phase, Nulllage und Schwingungsdauer auf den Graphen der allgemeinen Sinusfunktion untersucht.
    Natürlich kann man das hier noch einmal üben: Übungsblatt.
    Hier finden Sie eine Schritt-für-Schritt Anleitung zur Anfertigung einer Skizze des SinusGraphen nur mithilfe der Parameter.
    Für das folgende Aufgabenblatt gibt es auch eine Musterlösung.
    Ein Übungsblatt geht immer noch: Übungsblatt.
  5. Übungen zur Sinusfunktion
    Das Zeichnen von Sinusgraphen macht nicht nur Spaß, sondern liefert auch Stoff für Prüfungsaufgaben. Zur Vorbereitung erhalten Sie hier zwei Aufgabenblätter 1), 2), 3).
  6. Test zu Graphen der Sinusfunktion
    Nach so vielen Übungen muss nun auch ein Test dazu geschrieben werden:
    Test 2019-04-09 mit Lösung 2019-04-09
  7. Minima und Maxima der Sinus Sinusfunktion
    Die Bestimmung der Minima und Maxima einer Sinusfunktion erfolgt allein auf der Basis der vier Parameter der allgemeinen Sinusfunktion.
  8. Symmetrie der Sinusfunktion
    Die Punkt- und Achsensymmetrie der Sinusfunktion wird in diesem Arbeitsblatt betrachtet. Daraus ergeben sich Möglichkeiten, alle(!) Lösungen einer trigonometrische Gleichung zu bestimmen.
  9. Die Lösungen einer einfachen trigonometrischen Gleichung - die Zweige des Arcussinus
    Mit Hilfe einer berechneten Lösung einer trigonometrischen Gleichung kann man aufgrund der Symmetrie der Sinusfunktion alle weiteren Lösungen einer Gleichung bestimmen. Dazu wird Ihnen hier ein Aufgabenblatt angeboten.
    Hier finden Sie einen Test mit einer Beispiellösung zur Bestimmung von Nullstellen der allgemeinen Sinusfunktion.
  10. Beschreibung periodischer Vorgänge
    Die Parameter der allgemeinen Sinusfunktion werden nun so bestimmt, dass damit periodische Vorgänge in unserer Umwelt beschrieben werden. Dazu erhalten Sie das folgenden Aufgabenblatt.
    Sie erhalten hier ein zweites Aufgabenblatt zu Anwendungsaufgaben
  11. Testvorbereitungen
    Hier finden Sie ein Aufgabenblatt und Lösungen zum anstehenden Test zur allgemeinen Sinusfunktion.
  12. Aufgabensammlung
    Hier finden Sie eine weitere Aufgabensammlung und ausführliche Lösungen zur allgemeinen Sinusfunktion.
  13. Test zum Abschluss des Themas
    Hier finden Sie den Test A und Test B
Ganzrationale Funktionen

Dieser Unterrichtsabschnitt bereitet die Einführung der Differentialrechnung vor:

  1. Vorbetrachtungen zur Symmetrie
    Wir betrachten hier die Symmetrie in graphischer Hinsicht: Aufgabenblatt zur Symmetrie
  2. Einführung ganzrationaler Funktionen
    Ganzrationale Funktionen und deren Symmetrie mit einem Tafelbildersatz
  3. Beispiele ganzrationaler Funktionen und Zahlenfolgen
    Wir wiederholen hier Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen (mit und ohne GTR), um lineare oder im Allgemeinen ganzrationale Funktionen zu bestimmen (später so genannte Steckbriefaufgaben). Dabei üben wir sehr ausführlich den Gebrauch des GTRs: Arbeitsblatt.
  4. Nullstellenverfahren aus der Zeit vor dem GTR
    Hier können interessierte Schüler einfache Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen betrachten.

Einführung in die Differentialrechnung

  1. Änderungsraten
    In diesem Arbeitsblatt wird aus der mittleren Änderungsrate der Begriff der lokalen Änderungsrate abgeleitet.
    Als alternatives Vorgehen und Wiederholung wollen wir hier die letzte Aufgabe noch einmal graphisch mit dem GTR lösen: Auto-Baum-GTR. Die rechnerische Lösung der Auto-Baum-Aufgabe wird hier mit List&Spreadsheet betrachtet.
  2. Differenzenquotient und Grenzübergang
    Sehr detailliert wird der Differentialquotient vorbereitet.
    Auch hier wird dieses Vorgehen noch einmal mit dem GTR wiederholt: Differentialquotient.
  3. Sekanten und Tangenten
    Alle zuvor schon verwendeten Begriffe werden hier zusammengetragen: Sekanten und Tangenten.
  4. Graphischer Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung
    Bevor wir die üblichen Kriterien zu Extremstellen und Wendestellen formal angehen - haben wir hier noch ein wenig Spaß an der Darstellung von Graphen und sammeln Beispiele und Anregungen zu diesen Zusammenhängen: Ableitungen2.
    Hier finden Sie eine Auflistung aller Lösungen dazu. Zu einer Aufgabe wird eine Anleitung zur Verwendung des GTR gegeben.
  5. Ein Test zur Einführung der Differentialrechnung Test ohne/mit GTR mit Lösung
  6. Optimierung mit Hilfe der Differentialrechnung:Aufgabenblatt.
  7. Ableitungen mit der Delta-x Methode
    An einer allgemeinen x-Stelle wird der Grenzwertübergang durchgeführt und der Begriff der Steigungsfunktion und Ableitung eingeführt: Ableitungen.
  8. Die grundlegenden Überlegungen zum Min-/Max-Kriterium: Arbeitsblatt.
  9. Das graphische Differenzieren erfolgt unter Berücksichtigung der Zusammenhänge von Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen der Ableitungsfunktionen:
    Übungsblatt mit Lösungen.
  10. Das graphische Differenzieren und Wendestellen werden hier geprüft:
    Aufgabenblatt mit Lösungen.
  11. Rückblickend schauen wir jetzt nach vorn - was haben wir erreicht und was können wir damit anfangen: Arbeitsblatt.
  12. Beispiele für Wendestellen: Aufgabenblatt 1, Aufgabenblatt 2, Aufgabenblatt 3
  13. Test zur Differentialrechnung 2019-06-06 mit Musterlösung.
  14. Extrema unter Nebenbedingungen - ein ganz stilles Aufgabenblatt ☺ Abstandsprobleme.
  15. Extrema unter Nebenbedingungen - Flächen unter Funktionsgraphen.
  16. Extrema unter Nebenbedingungen - Test
    Insel-Schwimmer A, Lösung A
  17. Eine Probeklausur zum Aufgabenbereich der Differentialrechnung: Aufgabensammlung. Hier finden Sie eine Musterlösung.
    Beachten Sie, dass auch die obige Probeklausur zur allgemeinen Sinusfunktion für die kommende Klausur relevant ist. Weiter fehlt hier die Unterteilung zwischen dem A-Teil und B-Teil der Klausur, sodass ich Sie in diesem Zusammenhang auch noch auf die zahlreichen Tests hinweisen möchte. Bitte lernen Sie nicht nur nach diesen Probeklausuren - das wäre nur ein Notfallplan - dennoch enthalten diese beiden Musterlösungen zusammen mit den Tests die wesentlichen Lösungswege und Herangehensweisen für die kommende Klausur.

Fortführung der Differentialrechnung

  1. Newtonverfahren zur Nullstellenbestimmung
    Ein iteratives Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen einer differenzierbaren Funktion soll hier vorgestellt werden: Arbeitsblatt.
    Hier folgt noch ein kurzer Überblick zur Vorgehensweise beim Newtonverfahren.
  2. Steckbriefaufgaben
    Oft werden Funktionen gesucht, die bestimmten Anforderungen genügen, wie etwa eine gewisse Steigung an einer bestimmten Stelle zu haben. Dazu haben wir schon viele Beispiele kennengelernt. Hier wollen wir das Thema noch einmal aufgreifen und mit den neuen Begriffen, wie Wendepunkt und Tangente, anreichern:
    Das einführende Arbeitsblatt zu Steckbriefaufgaben finden Sie hier. Es folgt ein allgemeiner Überblick zu Steckbriefaufgaben
  3. Eine besonderer Typ der Steckbriefaufgabe befasst sich allein mit der optimalen Streckenführung von Straßen und Eisenbahnschienen. Eine Streckenführung wird auch als Trasse bezeichnet und daraus leitet sich die Bezeichnung für diesen Aufgabentyp ab: Trassierungsaufgabe
  4. Steckbriefaufgaben zu Grad 3,4 und 5
    Der Taschenrechner steht uns zur Verfügung und erlaubt uns umfangreichere Aufgabenstellungen zu betrachten und die Löungen mit Hilfe des Taschenrechners durch graphisches Analysieren zu überprüfen. Hier finden Sie eine abschließende Übungen zu Steckbriefaufgaben

Besondere Aufgaben - GeoGebra&Excel

  1. Excel Ausblicke
    Der Graphische TaschenRechner GTR verfügt über eine Tabellenkalkulation ganz analog zu Excel. Als Vorbereitung für den Umgang mit dem GTR finden Sie hier eine Einführung in die Tabellenkalkulation mit Excel 2016 oder 2007.
    Dabei handelt es sich um ein Excel-Tutorial, welches ursprünglich von der Universität Würzburg, Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik erstellt wurde. Dieses Excel-Tutorial wurde auf die Excel-Version 2007/2016 angepasst, wobei das Urheberrecht zu diesen Excel-Dateien bei der Universität Würzburg verbleibt.
  2. Wir wollen in dieser letzten Stunde vor dem Praktikum uns ansehen, wie ein Navigationsgerät den schnellsten Weg zwischen zwei Orten finden kann. Dieses Verfahren zur schnellsten Orientierung ist grundlegend für alle Bereiche, in denen Netze (ein Geflecht von Pfaden) eine Rolle spielen: Stromversorgung, Logistik, Arbeits- und Entscheidungsprozesse, das Layout von Platinen oder einfach nur die Stabilität von großen IT-Netzwerken bis hin zum Internet: Pfadsuche Arbeitsblatt
  3. Wir wollen uns in dieser letzten Stunde vor den Sommerferien ansehen, wie eine Verschlüsselung über einem endlichen Zahlenkörper funktioniert: Verschlüsselung Arbeitsblatt